Question

設非零向量

a

與

b

的夾角為θ，|

b

| =

2

|

a

|，如果關于x的方程x2-2|

a

| x+

a

•

b

=0有實根，那么θ的范圍是

[45°，180°]．

．

Answer 1

分析：由已知中非零向量

a

與

b

的夾角為θ，|

b

| =

2

|

a

|，關于x的方程x2-2|

a

| x+

a

•

b

=0有實根，我們可以構造一個關于

a

與

b

的夾角θ的三角形不等式，解不等式可以確定cosθ的范圍，進而得到的θ的范圍．

解答：解：∵關于x的方程x2-2|

a

| x+

a

•

b

=0有實根，
∴(2|

a

|)2-4

a

•

b

≥0
即|

a

|2-|

a

|•|

b

|cosθ=|

a

|2-

2

|

a

|²cosθ≥0
∴cosθ≤

2

2

故θ的范圍是[45°，180°]．
故答案為：[45°，180°]．

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，一元二次方程根的個數與系數的關系，其中根據已知條件，構造關于

a

與

b

的夾角θ的三角形不等式，是解答本題的關鍵．