Question

在某大學自主招生考試中，所有選報 II類志向的考生全部參加了“數學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生的兩科考試成績的數據統計如圖所示，其中“數學與邏輯”科目的成績為B的考生有10人．

（ I）求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績為A的人數；
（ II）若等級A，B，C，D，E分別對應5分，4分，3分，2分，1分，求該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分；
（Ⅲ）已知參加本考場測試的考生中，恰有兩人的兩科成績均為A．在至少一科成績為A的考生中，隨機抽取兩人進行訪談，求這兩人的兩科成績均為A的概率．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據“數學與邏輯”科目中成績等級為B的考生人數，結合樣本容量=頻數÷頻率得出該考場考生人數，再利用頻率和為1求出等級為A的頻率，從而得到該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數．
（II）利用平均數公式即可計算該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分．
（III）通過列舉的方法計算出選出的2人所有可能的情況及這兩人的兩科成績等級均為A的情況；利用古典概型概率公式求出隨機抽取兩人進行訪談，這兩人的兩科成績等級均為A的概率．
解答：解：（I）因為“數學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人，
所以該考場有10÷0.25=40人…（2分）
所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數為
40（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3…（4分）
（II）該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分為：
[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9…（8分）
（Ⅲ）因為兩科考試中，共有6人得分等級為A，又恰有兩人的兩科成績等級均為A，
所以還有2人只有一個科目得分為A…（9分）
設這四人為甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績都是A的同學，
則在至少一科成績等級為A的考生中，隨機抽取兩人進行訪談，基本事件空間為：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6個基本事件 …（11分）
設“隨機抽取兩人進行訪談，這兩人的兩科成績等級均為A”為事件B，所以事件B中包含的基本事件有1個，
則P（B）=．…（13分）
點評：本小題主要考查統計與概率的相關知識，具體涉及到頻率分布直方圖、平均數及古典概型等內容．