Question

已知定義在R上的函數f（x）=ax³-3x，a為常數，且x=1是函數f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）+f'（x）-6，x∈R，求g（x）的單調區間；
（Ⅲ） 過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，利用f′（1）=0，求出a的值；
（Ⅱ）通過函數g（x）=f（x）+f′（x）-6，x∈R，求出g（x）的表達式，通過函數的導數，利用導數為0，求出函數的單調區間；
（Ⅲ） 利用 f′（x）=3（x²-1），設切點為T（x₀，y₀），則切線的斜率相等，方程有3個解，就是函數有2個極值點，并且極大值大于0，極小值小于0，即可求m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3（ax²-1），x=1是函數f（x）的一個極值點，則f′（1）=0，
∴a-1=0，∴a=1．
又f'（x）=3（x+1）（x-1），函數f（x）在x=1兩側的導數異號，
∴a=1．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=f（x）+f′（x）-6=x³+3x²-3x-9．
則g′（x）=3（x²+2x-1），令g′（x）=0，得x²+2x-1=0，∴x1=-1-

2

，x2=-1+

2

．
隨x的變化，g′（x）與g（x）的變化如下：

x	(-∞，-1- 2 )	-1- 2	(-1- 2 ，-1+ 2 )	-1+ 2	(-1+ 2 ，+∞)
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）		極大值		極小值

所以函數g（x）的單調增區間為(-∞，-1-

2

)和(-1+

2

，+∞)，單調減區間為(-1-

2

，-1+

2

)．…（8分）
（Ⅲ） f′（x）=3（x²-1），設切點為T（x₀，y₀），則切線的斜率為k=3

x

2 0

-3=

y0-m

x0-1

=

x 3 0 -3x0-m

x-1

，…（9分）
整理得2x³-3x²+m+3=0，依題意，方程有3個根．…（10分）
設h（x）=2x³-3x²+m+3，則h′（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
令h′（x）=0，得x₁=0，x₂=1，則h（x）在區間（-∞，0），[1，+∞）上單調遞增，
在區間（0，1）上單調遞減．…（11分）
因此，

h(0)=m+3＞0 h(1)=m+2＜0

，解得-3＜m＜-2．所以m的取值范圍為（-3，-2）．…（14分）

點評：本題是難題，考查函數的導數的應用，極值的處理方法，切線的斜率與導數的函數值的關系，考查邏輯推理能力，分析問題解決問題的能力，計算量大，考查函數與方程的思想，轉化思想，常考題型．