Question

用秦九韶算法求n次多項式，當x=x時的值，需要的乘法運算、加法運算的次數一共是    ．

Answer 1

【答案】分析：求多項式的值時，首先計算最內層括號內一次多項式的值，即v₁=a_nx+a_n-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v₂=v₁x+a_n-2，v₃=v₂x+a_n-3…，v_n=v_n-1x+a₁，這樣，求n次多項式f（x）的值就轉化為求n個一次多項式的值．
解答：解：f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a=（a_nx^n-1+a_n-1x^n-2+…+a₁）x+a
=（（a_nx^n-2+a_n-1x^n-3+…+a₂）x+a₁）x+a
=…
=（…（（a_nx+a_n-1）x+a_n-2）x+…+a₁）x+a．
求多項式的值時，首先計算最內層括號內一次多項式的值，即
v₁=a_nx+a_n-1
然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即
v₂=v₁x+a_n-2 v₃=v₂x+a_n-3
…
v_n=v_n-1x+a₁
這樣，求n次多項式f（x）的值就轉化為求n個一次多項式的值．
∴對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法
故答案為：2n．
點評：秦九韶算法對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法．