Question

用秦九韶算法求n次多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，當x=x₀時的值，需要的乘法運算、加法運算的次數(shù)一共是

2n

．

Answer 1

分析：求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即v₁=a_nx+a_n-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v₂=v₁x+a_n-2，v₃=v₂x+a_n-3…，v_n=v_n-1x+a₁，這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值．

解答：解：f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=（a_nx^n-1+a_n-1x^n-2+…+a₁）x+a₀
=（（a_nx^n-2+a_n-1x^n-3+…+a₂）x+a₁）x+a₀
=…
=（…（（a_nx+a_n-1）x+a_n-2）x+…+a₁）x+a₀．
求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項式的值，即
v₁=a_nx+a_n-1
然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即
v₂=v₁x+a_n-2　　v₃=v₂x+a_n-3
…
v_n=v_n-1x+a₁
這樣，求n次多項式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個一次多項式的值．
∴對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法
故答案為：2n．

點評：秦九韶算法對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法．