Question

設(shè)函數(shù)f （x）=ax ²+8x+3 （a＜0）．對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l（a），使得在整個(gè) 區(qū)間[0，l（a）]上，不等式|f （x）|≤5都成立．
問(wèn)：a為何值時(shí)l（a）最大？求出這個(gè)最大的l（a）．證明你的結(jié)論．

Answer 1

f（x）=a（x+

4

a

）²+3-

16

a

．
（1）當(dāng)3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時(shí)，
l（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，故l（a）=

-8+ 64+8a

2a

．
（2）當(dāng)3-

16

a

≤5，即a≤-8時(shí)，
l（a）是方程ax²+8x+3=-5的較大根，故l（a）=

-8- 64-32a

2a

．
綜合以上，l（a）=

-8- 64-32a 2a ，(a≤-8) -8+ 64+8a 2a (-8＜a＜0

當(dāng)a≤-8時(shí)，l（a）=

-8+ 64-32a

2a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

1+ 5

2

；
當(dāng)-8＜a＜0時(shí)，l（a）=

-8+ 64+8a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

＜

1+ 5

2

．
所以a=-8時(shí)，l（a）取得最大值

1+ 5

2

．