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設f1(x)=數學公式,定義fn+1 (x)=f1[fn(x)],an=數學公式(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=數學公式(n∈N*),試比較9T2n與Qn的大小,并說明理由.

解:(1)∵f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1[fn(0)]=,
∴an+1====-=-an
∴數列{an}是首項為,公比為-的等比數列,
∴an=n-1
(2)∵T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2n,
T2n=(-a1)+(-)2a2+(-)3a3+…+(-)(2n-1)a2n-1+2na2n
=a2+2a3+…+(2n-1)a2n-na2n
兩式相減,得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n
T2n=+n×(-2n-1=-(-2n+(-2n-1
T2n=-(-2n+(-2n-1=(1-).
∴9T2n=1-
又Qn=1-
當n=1時,22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n<Q n
當n=2時,22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n<Qn;
當n≥3時,22n=[(1+1)n]2=(Cn0+Cn1+Cn3+…+Cnn2>(2n+1)2,∴9T2n<Qn;
綜上得:9T2n<Q n
分析:(1)根據f1(x)=,定義fn+1 (x)=f1[fn(x)],an=(n∈N*).可得f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1[fn(0)]=,從而an+1=-an.所以數列{an}是首項為,公比為-的等比數列,故可求數列{an}的通項公式.
(2)利用錯誤相減法求得T2n=(1-),從而9T2n=1-,又Qn=1-,故當n=1時,22n=4,(2n+1)2=9,所以9T2n<Q n;當n=2時,22n=16,(2n+1)2=25,所以9T2n<Qn;當n≥3時,22n=[(1+1)n]2=(Cn0+Cn1+Cn3+…+Cnn2>(2n+1)2,從而得到結論.
點評:本題以函數為載體,考查數列的通項,考查等比數列的定義,考查錯位相減法求數列的和,考查分類討論的數學思想,綜合性強.
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