Question

設f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導數，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，若△ABC的內角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0，則sinA的值是______．

Answer 1

∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
從第五項開始，f_n（x）的解析式重復出現，每4次一循環．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0
∴cosA=0
∵A為三角形的內角
∴sinA=1
故答案為：1．