Question

已知函數g（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z，且a＞0）為奇函數，且g（1）=2，g（2）＜3，
（1）求g（x）的值域；
（2）設f（x）=x•g（x），φ（x）=f[f（x）]-λf（x），問是否存在實數λ，使φ（x）在（-∞，-1）上為減函數且在（-1，0）上是增函數？若存在，求出λ值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由奇函數的定義，可得方程，比較即可得到c=0，再由條件得到不等式，解出整數解，即可得到a=b=1，再由基本不等式求得值域；
（2）假設存在實數λ，使φ（x）在（-∞，-1）上為減函數且在（-1，0）上是增函數．即有x=-1為φ（x）的極小值點，求出函數φ（x）的導數，解方程即可得到，注意檢驗．

解答： 解：（1）由g（x）為奇函數，
則g（-x）=

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

，
即

ax2+1

bx-c

=

ax2+1

bx+c

，
則 c=0，g（x）=

ax2+1

bx

，
又g（1）=

a+1

b

=2，即a+1=2b，
g（2）=

4a+1

2b

＜3，即有4a+1＜6b=3a+3，a＜2，
又a＞0，a∈Z，則a=1，b=1．
即g（x）=

x2+1

x

，當x＞0時，g（x）=x+

1

x

≥2，當x＜0時，g（x）=x+

1

x

≤-2，
則有g（x）的值域為：（-∞，-2]∪[2，+∞）；
（2）f（x）=x•

x2+1

x

=x²+1，
φ（x）=f[f（x）]-λf（x）=（x²+1）2-λ（x²+1）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ
φ′（x）=4x³+2（2-λ）x=2x（2x²-λ+2），
假設存在實數λ，使φ（x）在（-∞，-1）上為減函數且在（-1，0）上是增函數．
即有x=-1為φ（x）的極小值點，
即x=-1時，φ′（-1）=-2（2-λ+2）=0，解得，λ=4，
經檢驗，λ=4時，φ（x）在x＜-1是減函數，在-1＜x＜0是增函數，
故存在且λ=4即為所求．

點評：本題考查函數的奇偶性的運用，考查函數的值域的求法：基本不等式法，考查導數的運用：求極值，考查運算能力，屬于中檔題．