Question

已知定義域為R的函數y=f（x）對任意x∈R都滿足條件f（x）+f（4-x）=0與f（x+2）-f（x-2）=0，則對函數y=f（x），
下列結論中必定正確的是

①③

．（填上所有正確結論的序號）
①y=f（x）是奇函數；                ②y=f（x）是偶函數；
③y=f（x）是周期函數；              ④y=f（x）的圖象是軸對稱的．

Answer 1

分析：由f（x+2）-f（x-2）=0可求得f（x+4）=f（x），可判斷其周期性，f（x）+f（4-x）=0可結合周期性判斷其奇偶性，即可得到結果．

解答：解：∵f（x+2）-f（x-2）=0，∴f[（x+2）+2]=f[（x+2）-2]，即f（x+4）=f（x），∴y=f（x）是周期為4的函數；又f（x）+f（4-x）=0，∴f（4-x）=-f（x），又f（4-x）=f（-x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數．
故答案為：①③．

點評：本題考查抽象函數的性質及其應用，難點在于對函數周期性與奇偶性的充分結合，屬于中檔題．