Question

已知點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F₁，F₂分別是雙曲線的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內心（內心--角平分線交點且滿足到三角形各邊距離相等），若 S △IPF1=S △IPF2+

1

4

S △IF1F2成立，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  5

  2

• C．4
• D．2

Answer 1

分析：設△PF₁F₂的內切圓的半徑為r．利用I為△PF₁F₂的內心，S △IPF1=S △IPF2+

1

4

S △IF1F2成立，可得|PF1|=|PF2|+

1

4

×2c．再利用雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2a，即可得出a，c的關系，利用離心率計算公式即可．

解答：解：設△PF₁F₂的內切圓的半徑為r．
∵I為△PF₁F₂的內心，S △IPF1=S △IPF2+

1

4

S △IF1F2成立，
∴

1

2

|PF1|•r=

1

2

|PF2|•r+

1

4

•

1

2

|F1F2|•r
化為|PF1|=|PF2|+

1

4

×2c．
又|PF₁|-|PF₂|=2a，∴2a=

1

2

c，
∴e=

c

a

=4．
故選C．

點評：熟練掌握雙曲線的定義域性質、三角形內切圓的性質、三角形的面積計算公式等是解題的關鍵．