Question

對于0≤m≤4的m，不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由對于0≤m≤4的m，不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立，可變形為m（x-1）+x²-4x+3＞0在0≤m≤4時恒成立．由于該函數(shù)為關于m的一次函數(shù)估可轉(zhuǎn)化為

f(0)＞0 f(4)＞0

，即

x2-4x+3＞0 x2-1＞0

，解不等式組，即可得到結論．

解答：解：若不等式x²+mx＞4x+m-3恒成立
則m（x-1）+x²-4x+3＞0在0≤m≤4時恒成立．
令f（m）=m（x-1）+x²-4x+3．
則

f(0)＞0 f(4)＞0

?

x2-4x+3＞0 x2-1＞0

?

x＜1或x＞3 x＜-1或x＞1.

∴x＜-1或x＞3．
故答案為：x＞3或x＜-1

點評：解不等式恒成立問題，通常借助于函數(shù)思想或方程思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解．