Question

曲線y=xsinx在點(-

π

2

，

π

2

)處的切線與x軸、直線x=π所圍成的三角形的面積為（　　）

• A．

  π2

  2

• B．π²
• C．2π²
• D．

  1

  2

  (2+π)2

Answer 1

分析：欲切線與坐標軸所圍成的三角形的面積，只須求出切線在坐標軸上的截距即可，故先利用導數(shù)求出在x=-

π

2

處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后求出切線的方程，從而問題解決．

解答：解：求導數(shù)可得y′=sinx+xcosx，
∴x=-

π

2

時，f′（-

π

2

）=-1
∴曲線f（x）=xsinx在x=-

π

2

處的切線方程為y-

π

2

=-（x+

π

2

），即x+y=0
當x=0時，y=0．即切線與坐標軸的交點為（0，0），
∴切線與x軸，直線x=1所圍成的三角形面積為：
S=

1

2

×π×π=

1

2

π2．
故選A．

點評：本小題主要考查直線的方程、三角形的面積、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．