Question

數列{a_n}的前n項和Sn=n2，數列{b_n}滿足b1=2，bn+1=bn+3•2an．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若cn=2n•log2bn+1（n∈N^*），T_n為{c_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=n2，利用迭代能得到a_n=2n-1．由bn+1=bn+3•2n，得得bn+1-bn=3•2n，由此能導出bn=22n-1．
（Ⅱ）由cn=2n•log222n+1=（2n+1）•2ⁿ，知T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知Sn=n2，當n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當n=1時，a₁=1適合上式，
∴a_n=2n-1．
由bn+1=bn+3•2n，得bn+1-bn=3•2n，
∴bn+1=3•(22n-1+22n-3+…+2)+2
=3•

2(4n-1)

4-1

+2
=2²ⁿ⁺¹
=2^2（n+1）-1，
∵b₁=2滿足上式，∴bn=22n-1．
（Ⅱ）∵cn=2n•log222n+1=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，…（8分）
2Tn=3•22+5•23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，
兩式相減得：-Tn=3•2+2•(22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1
=2+2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2．…（13分）

點評：本題考查數列通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法和錯位相減法的合理運用．