Question

設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求的值;
(2) 若，恒成立，求的范圍.
(3)求證：

Answer 1

(1) 0. (2)  .
(3) 結(jié)合（2）時(shí),成立.令
得到，

  
累加可得.

解析試題分析：(1)求導(dǎo)數(shù)，并由得到的值; (2)恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題.本題中設(shè)，即轉(zhuǎn)化成.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可得.
(3) 結(jié)合（2）時(shí),成立.令得到，

  
累加可得.
試題解析：(1)            2分
由題設(shè)，
，.                    4分
(2) ,，，即
設(shè)，即.
                   6分
①若，，這與題設(shè)矛盾.         8分
②若方程的判別式
當(dāng)，即時(shí)，.在上單調(diào)遞減，
，即不等式成立.                                            9分
當(dāng)時(shí)，方程，其根，，
當(dāng),單調(diào)遞增，，與題設(shè)矛盾.
綜上所述， .                              10分
(3) 由(2)知,當(dāng)時(shí), 時(shí),成立.
不妨令
所以，
           11分
             12分
累加可得

            14分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.