Question

若函數f（x）滿足下列兩個性質：
①f（x）在其定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在f（x）的定義域內存在某個區間使得f（x）在[a，b]上的值域是．則我們稱f（x）為“內含函數”．
（1）判斷函數是否為“內含函數”？若是，求出a、b，若不是，說明理由；
（2）若函數是“內含函數”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據新定義“內含函數”，要滿足兩條：一是在其定義域上是單調函數，二是在定義域內存在某個區間[a，b]，且在此區間上的值域是即可．
（2）若函數是“內含函數”，其定義域為[1，+∞），且在定義域上單調遞增，滿足第一條；只要t再滿足：存在區間[a，b]?[1，+∞），滿足，，即可．
解答：解：（1）∵函數，其定義域為[0，+∞），∴函數在區間[0，+∞）上是單調增函數．
設在區間[a，b]上的值域是．
由，解得．
故函數是“內含函數”，且a=0，b=4．
（2）設g（x）=，其定義域為[1，+∞），且在定義域上單調遞增．
∵g（x）為“內含函數”，∴存在區間[a，b]?[1，+∞），滿足，．
即方程在區間[1，+∞）內有兩個不等實根．
也即方程在區間[1，+∞）內有兩個不等實根，令，則其可化為：
，即方程m²-2m+（1-2t）=0有兩個非負的不等實根x₁、x₂．
∴解得．
∴實數t的取值范圍是．
點評：充分理解新定義是進行判斷的前提．其關鍵是看在定義域內方程f（x）=x是否存在兩個不等的實數根．