Question

甲、乙、丙三人在同一個辦公室，辦公室只有一部電話機，設經該打進的電話是打給甲、乙、丙的概率分別為

1

6

，

1

3

，

1

2

，若在一段時間內打進3個電話，且各個電話相互獨立．
（Ⅰ）求這三個電話是打給同一人的概率；
（Ⅱ）求這三個電話中恰有兩上是打給乙的概率；
（Ⅲ）設三個電話中打給乙與丙的個數差的絕對值為X，求X的分布列和E（X）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）三個電話是打給同一個人的包括打給甲的，打給乙的，打給丙的，因各個電話相互獨立且前面所說的三件事不可能同時發生，由互斥事件和相互獨立事件同時發生的概率公式得到結果．
（Ⅱ）三個電話有兩個是打給乙的，打給甲的概率是

1

6

，三次試驗打給甲發生了兩次，根據獨立重復試驗公式得到結果．
（Ⅲ）X的取值分別為0，1，2，3，然后分別求出X相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由互斥事件有一個發生的概率公式和獨立事件同時發生的概率公式，
所求概率為：p=(

1

6

)3+(

1

3

)3+(

1

2

)3=

1

6

．
（Ⅱ）這是n=3，p=

1

3

的獨立重復試驗，
故所求概率為：P3(2)=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)=

2

9

．
（Ⅲ）X的取值分別為0，1，2，3
P（X=0）=(

1

6

)3+A₃³

1

6

×

1

3

×

1

2

=

37

216

  P（X=1）=3（

1

6

×

1

6

×

1

3

+

1

6

×

1

6

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

2

×

1

2

）=

105

216

P（X=2）=3（

1

6

×

1

3

×

1

3

+

1

6

×

1

2

×

1

2

）=

39

216

  P（X=3）=

1

3

× 

1

3

× 

1

3

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

35

216

X	0	1	2	3
P	37 216	105 216	39 216	35 216

∴E（X）=1×

105

216

+2×

39

216

+3×

35

216

=

288

216

=

4

3

點評：解題時抓住獨立重復試驗的特點：試驗是在同樣條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，要熟練應用獨立重復試驗的公式解決問題，這是高考題中會出到的一種題型．