Question

（2013•重慶）在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

．若|

OP

|＜

1

2

，則|

OA

|的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  5

  2

  ]
• B．（

  5

  2

  ，

  7

  2

  ]
• C．（

  5

  2

  ，

  2

  ]
• D．（

  7

  2

  ，

  2

  ]

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量模的計(jì)算公式，即可得到結(jié)論．

解答：解：根據(jù)條件知A，B₁，P，B₂構(gòu)成一個(gè)矩形A，B₁PB₂，以AB₁，AB₂所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB₁|=a，|AB₂|=b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
由|

OB1

|=|

OB2

|=1，得

(x-a)2+y2=1 x2+(y-b)2=1

，則

(x-a)2=1-y2 (y-b)2=1-x2

∵|

OP

|＜

1

2

，∴(x-a)2+(y-b)2＜

1

4

∴1-x2+1-y2＜

1

4

∴x2+y2＞

7

4

①
∵（x-a）²+y²=1，∴y²=1-（x-a）²≤1，
∴y²≤1
同理x²≤1
∴x²+y²≤2②
由①②知

7

4

＜x2+y2≤2，
∵|

OA

|=

x2+y2

，∴

7

2

＜|

OA

|≤

2

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．