Question

（2013•重慶）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a²+b²+

2

ab=c²．
（1）求C；
（2）設cosAcosB=

3 2

5

，

cos(α+A)cos(α+B)

cos2α

=

2

5

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）已知第二個等式分子兩項利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，再利用同角三角函數間的基本關系弦化切，利用多項式乘多項式法則計算，由A+B的度數求出sin（A+B）的值，進而求出cos（A+B）的值，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡cos（A+B），將cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，將各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．

解答：解：（1）∵a²+b²+

2

ab=c²，即a²+b²-c²=-

2

ab，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

- 2 ab

2ab

=-

2

2

，
又C為三角形的內角，
則C=

3π

4

；
（2）由題意

cos(α+A)cos(α+B)

cos2α

=

(cosαcosA-sinαsinA)(cosαcosB-sinαsinB)

cos2α

=

2

5

，
∴（cosA-tanαsinA）（cosB-tanαsinB）=

2

5

，
即tan²αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan²αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=

2

5

，
∵C=

3π

4

，A+B=

π

4

，cosAcosB=

3 2

5

，
∴sin（A+B）=

2

2

，cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

3 2

5

-sinAsinB=

2

2

，即sinAsinB=

2

10

，
∴

2

10

tan²α-

2

2

tanα+

3 2

5

=

2

5

，即tan²α-5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．