Question

設有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點處，當此彗星離地球相距m萬千米和

4

3

m萬千米時，經過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為

π

2

和

π

3

，求該彗星與地球的最近距離．

Answer 1

分析：仔細分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點處時，彗星與地球的距離才達到最小值即為a-c，這樣把問題就轉化為求a，c或a-c．

解答：解：建立如圖所示直角坐標系，設地球位于焦點F（-c，0）處，
橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
當過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為

π

3

時，
由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=

π

3

（或∠xFA′=

π

3

）．
作AB⊥Ox于B，則|FB|=

1

2

|FA|=

2

3

m，
故由橢圓的第二定義可得
m=

c

a

（

a2

c

-c），①

4

3

m=

c

a

（

a2

c

-c+

2

3

m）．②
兩式相減得

1

3

m=

c

a

•

2

3

m，∴a=2c．
代入①，得m=

1

2

（4c-c）=

3

2

c，
∴c=

2

3

m．∴a-c=c=

2

3

m．
答：彗星與地球的最近距離為

2

3

m萬千米．

點評：本題主要考查橢圓的定義，本題的實際意義是求橢圓上一點到焦點的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解．同時，還要注意結合橢圓的幾何意義進行思考．