Question

設有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點處，當此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時，經過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為和,求該彗星與地球的最近距離.

Answer 1

剖析：本題的實際意義是求橢圓上一點到焦點的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解.同時，還要注意結合橢圓的幾何意義進行思考.仔細分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點處時，彗星與地球的距離才達到最小值即為a-c，這樣把問題就轉化為求a、c或a-c.

解：建立如下圖所示直角坐標系，設地球位于焦點F（-c,0）處，橢圓的方程為+=1,

    當過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為π3時，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=(或∠xFA′=).

    作AB⊥Ox于B，則｜FB｜=｜FA｜=m,

    故由橢圓的第二定義可得

   

    兩式相減得m=·m,∴a=2c.

    代入①,得m=(4c-c)=c,

    ∴c=m.

    ∴a-c=c=m.

     答:彗星與地球的最近距離為m萬千米.

講評：(1)在天體運行中，彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓,而恒星正是它的一個焦點，該橢圓的兩個端點，一個是近地點,另一個則是遠地點，這兩點到恒星的距離一個是a-c,另一個是a+c.

    (2)以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數學概念為根基充分體現了數形結合的思想.另外，數學應用問題的解決在數學化的過程中也要時刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓練數學思維品質.