Question

如圖，已知SA=AB=BC=1，以SC為斜邊的Rt△SAC≌Rt△SBC，

AC

•

SB

=

3

4

．
（1）求二面角A-SB-C的大小．
（2）求異面直線AS，BC所成角．

Answer 1

分析：（1）取M為SB的中點，連接AM，則AM⊥SB，又BC⊥SB，故利用向量

AM

，

BC

的夾角，利用余弦定理可求二面角A-SB-C的平面角；
（2）異面直線AS，BC所成角轉化為向量

AS

，

BC

的夾角問題，從而得解．

解答：解：（1）取M為SB的中點，連接AM，
則AM⊥SB，

AC

=

AM

+

MB

+

BC

∴

AC

•

SB

=

AM

•

SB

+

1

2

SB

2+

BC

•

SB

=

1

2

SB

2=

3

4

∴|

SB

|=

6

2

．
設二面角A-SB-C為α，∵AC=SB=

6

2

，AM=

10

4

，BM=

6

4

，BC=1
∴AC²=AM²+BC²+BM²-2AM•BC•cosα，
∴cosα=

10

10

，α=arccos

10

10

．
（2）

AS

=

AM

-

SM

=

AM

-

1

2

SB

∴

AS

•

BC

=

AM

•

BC

=-

1

4

∴異面直線AS，BC所成角為arccos

1

4

點評：本題以向量為載體，考查面面角，線線角，關鍵是利用好向量條件．