Question

已知為空間的一個基底，且， ，，
（1）判斷四點是否共面；
（2）能否以作為空間的一個基底？若不能，說明理由；若能，試以這一基底表示向量

Answer 1

（1）四點不共面；  （2）．

本試題主要是考查了空間向量中四點共面的問題，以及判定空間向量的基底的定義的運用。
（1）假設四點共面，則存在實數使，
且，那么可以根據這個結論得到方程組，求解判定不成立。
（2）利用不同面的三個向量可以充當空間的基底，那么我們可以得到，判定
解：（1）假設四點共面，則存在實數使，
且，
即．…4分
比較對應的系數，得一關于的方程組
解得
與矛盾，故四點不共面；……………6分
（2）若向量，，共面，則存在實數使，
同（1）可證，這不可能，
因此可以作為空間的一個基底，
令，，，
由，，聯立得到方程組，
從中解得………………10分所以