Question

已知(

3

x

+ax2)2n的展開式記為R，（3x-1）ⁿ的展開式記為T．已知R的奇數項的二項式系數的和比T的偶數項的二項式系數的和大496．
（1）求R中二項式系數最大的項；
（2）求R中的有理項；
（3）確定實數a的值使R，T中有相同的項，并求出相同的項．

Answer 1

分析：先由R的奇數項的二項式系數的和比T的偶數項的二項式系數的和大496建立方程求出n．
（1）由二項式的形式可以判斷出，第6項的二項式系數最大，用公式求出即可；
（2）給出展開式的通項公式，研究其指數，找出有理項．
（3）求出（3x-1）ⁿ的展開式中的項，根據兩個展開式中的項比對，得到方程r=1-

3

5

t，再由0≤r≤10，0≤t≤5，可得t=0，r=1時有相同項，建立方程求參數值即可

解答：解：由題意2^2n-1-2^n-1=496，解得n=5
（1）由已知(

3	x

+ax2)2n的展開式中第六項的二項式系數最大，結果為

C

5 10

(ax2)5(

3	x

)5=252a5x

35

3

（2）R展開式的通項公式Tr+1=

C

r 10

(

3	x

)10-r(ax2)r
由

10-r

3

+2r∈z且0≤r≤10，所以r=1，4，7，10
故R中的有理項為T₂=10ax⁵，T₅=210a⁴x¹⁰，T₈=120a⁷x¹⁵，T₁₁=a¹⁰x²⁰
（3）T展開式的通項公式S_t+1=C₅^t（3x）^5-t（-1）^t
由

10-r

3

+2r=5-t即3t=5（1-r）
所以r=1-

3

5

t
又0≤r≤10，0≤t≤5，可得t=0
當t=0時，r=1，此時10a=3⁵，得a=

243

10

故a=

243

10

時R，T中有相同的項．

點評：本題考查二項式的系數的性質，解題的關鍵是掌握二項式系數的展開式及展開式中項與指數的關系，由此根據題設要求建立方程求解即可．本題運算量較大，符號運算較多，解題時運算要認真，避免運算時一錯全錯．