Question

已知點G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點M，滿足，（若△ABC的頂點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則該三角形的重心坐標為）．
（1）求點C的軌跡E的方程．
（2）設（1）中曲線E的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點F₂的直線l交曲線E于P、Q兩點，求△F₁PQ面積的最大值，并求出取最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出C的坐標，則G點坐標可得，進而根據判斷出GM∥AB，根據表示出M的坐標，利用進而利用兩點間的距離公式求得x和y的關系，點C的軌跡方程可得．
（2）由（1）可知焦點坐標，設出直線l的方程，設出P，Q的坐標，把直線與橢圓方程聯立消去x，根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂的表達式，進而求得|y₁-y₂|表達式，根據三角形面積公式求得三角形面積公式．進而根據均值不等式求得面積的最大值，根據等號成立的條件，求得t，則直線的方程可得．
解答：解：（1）設C（x，y），則．
∵（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x軸上一點，則．
又∵，∴．整理得．

（2）由（1），知．設直線l的方程為x=ty+，
由（1），知x≠0，∴l不過點（0，±1），∴
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將．
∴△=8t²+4（t²+3）=12（t²+1）＞0恒成立．∴．
∴．
∴．
∴．
當且僅當t²+1=2，即t=±1時取“=”
所以△F₁PQ的最大值為，此時直線l的方程為x±y-=0．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，以及直線與圓錐曲線的問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．