Question

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，點(diǎn)P是△GBC內(nèi)一點(diǎn)，若

AP

=λ

AB

+μ

AC

，則λ+μ的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，1)
• B、(

  2

  3

  ，1)
• C、(1，

  3

  2

  )
• D、（1，2）

Answer 1

分析：由點(diǎn)P是△GBC內(nèi)一點(diǎn)，則λ+μ≤1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，λ+μ最大等于1；當(dāng)P和G重合時(shí)，λ+μ最小，此時(shí)，

AP

=λ

AB

+μ

AC

=

AB + AC

3

，λ=μ=

1

3

，λ+μ=

2

3

．

解答：解：∵點(diǎn)P是△GBC內(nèi)一點(diǎn)，則λ+μ＜1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，λ+μ最大等于1，
當(dāng)P和G重合時(shí)，λ+μ最小，
此時(shí)，

AP

=λ

AB

+μ

AC

=

AG

=

2

3

×

1

2

（

AB

+

AC

）=

AB + AC

3

，
∴λ=μ=

1

3

，λ+μ=

2

3

．
故

2

3

＜λ+μ＜1，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的重心的性質(zhì)，兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．