Question

已知函數f（x）=

ex

x-a

，其中常數（a＜0）．
（I）若a=-1，求函數f（x）的定義域及極值；
（Ⅱ）若存在實數x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

2

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數的分母不為0，可求函數的定義域；求導函數，令其大于0（小于0），結合函數的定義域，可求函數的單調區間，從而函數極值點與極值可求．
（2）由已知，f（x）=

ex

x-a

1

2

只需在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

即可．

解答：解：：（1）函數f（x）的定義域為{x|x≠a}，若a=-1，則f（x）=

ex

x-a

=

ex

x+1

f′（x）=

ex(x+1)-ex

(x+1)2

=

xex

(x+1)2

，
由f'（x）=0，解得x=0
由f'（x）＞0，解得x＞0．由f'（x）＜0，解得x＜0且x≠-1．
∴f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（-∞，-1），（-1，0）．所以f（x）在x=0時取得極小值f（0）=1
（2）由題意可知，a＜0，且f（x）=

ex

x-a

只需在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

即可，
①若a+1＜0即a＜-1時，

x	（a，a+1）	a+1	（a+1，0）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值為f（a+1）=e^a+1．則ea+1≥

1

2

，得a≥ln

1

2

  -1
②若a+1≥0即a≥-1時，f（x）在（a，0]上單調遞減，則f（x）在（a，0]上的最小值為f(0)=-

1

a

由-

1

a

  ≥

1

2

得a≥-2． …10分
綜上所述，0＞a≥ln

1

2

  -1

點評：本題主要考查利用導數求函數的單調區間，求函數的極值值，考查等價轉化能力，屬于中檔題．易錯點在于最小值大于等于

1

2

而不是最大值大于等于

1

2

．