Question

已知函數f(x)=alnx+x²(a為實常數).

   (1)若,求證:函數f(x)在(1,+∞)上是增函數;

   (2)當時,求函數f(x)在[1,e]上的最小值及相應的x值;

   (3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實數a的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）當時,的最小值為1,相應的x值為1；（3）.

【解析】（1）直接對f(x)求導，說明當x>1時，導數大于零即可.

(2)利用導數求極值最值，最值不在區間端點出取得，就在極值處取得，因而比較極值及端點值即可確定最值.

（3）由于x>0，所以此不等式可轉化為.然后構造函數求它的最小值即可，要注意恒成立問題與存在性問題的區別.

解：(1)當時,,當,,

故函數在上是增函數;------------（3分)

(2),當,,

當時,在上非負(僅當,x=1時,),

故函數在上是增函數,此時.

∴當時,的最小值為1,相應的x值為1-------（7分）

(3)不等式,可化為.

∵, ∴且等號不能同時取,所以,即,

因而(),-----------------------（10分）

令(),又,----12分

當時,,,

從而(僅當x=1時取等號),所以在上為增函數,

故的最小值為,所以a的取值范圍是.（14分）