Question

在等差 數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）設(shè)b_n=（n∈N^*），B_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N⁺），是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N⁺均有B_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵a₁=8，a₄=2，∴公差d==-2，∴a_n=a₁+（n-1）d=10-2n
∴S_n==n（9-n）；
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，后面的項(xiàng)為負(fù)數(shù)．
∴n≤5時(shí)，T_n=n（9-n）；
n≥6時(shí)，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S_n+2S₅=n（n-9）+20=n²-9n+20
∴T_n=；
（3）b_n==，∴B_n=b₁+b₂+…+b_n=（1-+-+…+）=
∴n=1時(shí)，B_n取得最小值
∵對(duì)任意n∈N^*均有B_n＞成立，∴＞，∴m＜8
∴使得對(duì)任意n∈N^*均有B_n＞成立的最大整數(shù)為7．
分析：（1）由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和即得結(jié)論；
（2）判斷哪幾項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，再分類(lèi)討論，即可求得T_n；
（3）求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查恒成立問(wèn)題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確求和是關(guān)鍵．