Question

已知數列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S₂₀；
（3）設bn=

4

n(14-an)

，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N^*，均有Tn＞

m

9

成立？若存在，求出m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先判斷{a_n}為等差數列，再求出公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）根據通項確定其正數項與負數項，從而可求S₂₀；
（3）利用裂項法求數列的和，求出最小值，即可求得結論．

解答：解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n}為等差數列，
設其公差為d…（1分）
又a₁=8，a₄=2，∴8+3d=2，∴a₁=8，d=-2
∴a_n=-2n+10         …（3分）
（2）∵a_n=-2n+10，∴n≤5時，a_n≥0；n≥6時，a_n＜0…（4分）
∴n≥6時，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n=2（a₁+…+a₅）-（a₁+…+a_n），
所以Sn=n2-9n+40…（7分）
∴S₂₀=260…（8分）
（3）由（1）可得bn=

4

n(2n+4)

=

1

n

-

1

n+2

則T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

…（10分）
由T_n為關于n的增函數，故(Tn)min=T1=

2

3

，
于是欲使Tn＞

m

9

對n∈N*恒成立，則

m

9

＜

2

3

，∴m＜6
∴存在最大的整數m=5滿足題意…（12分）

點評：本題考查數列的通項，考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，正確求和是關鍵．