Question

已知定義在R上的函數f(x)=

b-2x

2x+a

是奇函數
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）的單調性，并用單調性定義證明；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定義在R上的奇函數，知f(0)=

b-1

a+1

=0，故b=1，f(x)=

1-2x

a+2x

，f(-x)=

1-2-x

a+2-x

=

2x-1

a•2x+1

=-f(x)=

2x-1

a+2x

，由此能求出a=b=1．
（2）f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，f（x）在R上是減函數．證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=-

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，由此能夠證明f（x）在R上是減函數．
（3）不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，等價于f（t-2t²）＞f（k），由f（x）是R上的減函數，知t-2t²＜k，由此能求出實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f(0)=

b-1

a+1

=0，
解得b=1，（1分）
∴f(x)=

1-2x

a+2x

，
∴f(-x)=

1-2-x

a+2-x

=

2x-1

a•2x+1

=-f(x)=

2x-1

a+2x

∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1對一切實數x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，
f（x）在R上是減函數．（4分）
證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=-

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的減函數，
∴t-2t²＜k（10分）
∴k＞t-2t2=-2(t-

1

4

)2+

1

8

對t∈R恒成立，
∴k＞

1

8

．（12分）

點評：本題考查函數恒成立問題的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．