Question

【題目】如圖，已知ABCD為平行四邊形，∠A=60°，線段AB上點F滿足AF=2FB，AB長為12，點E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD與EF相交于N．現將四邊形ADEF沿EF折起，使點D在平面BCEF上的射影恰在直線BC上．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直線DE與平面BCEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：EF⊥DN，EF⊥BN，

∴EF⊥平面BDN，

∴平面BDN⊥平面BCEF，

又∵BN為平面BDN與平面BCEF的交線，

∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上，

而D在平面BCEF上的射影在BC上，

∴D在平面BCEF上的射影即為點B，

即BD⊥平面BCEF．

（Ⅱ）解：如圖，D在平面BCEF上的射影點為點B，

∴∠DEB為DE與平面BCEF所成的角，

DE=AF=8，NF=2，NE=4，NB=2 ，NB⊥NE，

∴BE=2 ，DB= =6，

∴sin∠DEB= = ，

即直線DE與平面BCEF所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）要證BD⊥BCEF，只需要證明D在平面BCEF上的射影即為點B即可；（2）連接BE，由于D在平面BCEF上的射影點為點B，故∠DEB為DE與平面BCEF所成的角，利用幾何關系得出正弦值.
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關知識才是答題的關鍵．