Question

對于函數y=f（x）與y=g（x），在它們的公共定義域內，若f（x）-g（x）隨著自變量x的增大而增大，則稱函數f（x）相對于函數g（x）是“漸先函數”，下列幾組函數中：
①f（x）=x與g（x）=1；
②f（x）=2^x與g（x）=log₂x；
③f（x）=2^x與g（x）=x²；
④f（x）=e^x與g（x）=log₂x
函數f（x）相對于函數g（x）是“漸先函數”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、①④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：令h（x）=f（x）-g（x），根據“漸先函數”的概念對①③④四個選項逐一分析、判斷即可得到答案．

解答： 解：令h（x）=f（x）-g（x），
對于①，∵h（x）=f（x）-g（x）=x-1為R上的增函數，故函數f（x）相對于函數g（x）是“漸先函數”，①正確；
對于②，∵h（x）=2^x-log₂x，
∴h（

1

2

）=

2

+1，h（1）=2-0=2，而h（

1

2

）＞h（1），故函數h（x）不是增函數，即f（x）相對于函數g（x）不是“漸先函數”，②不正確；
對于③，h（x）=2^x-x²；h（2）=2²-2²=0，h（4）=2⁴-4²=0，即h（2）=h（4），故函數h（x）不是增函數，即f（x）相對于函數g（x）不是“漸先函數”，③不正確；
對于④，f（x）=e^x，g（x）=log₂x，其圖象如下：

由圖可知，函數f（x）相對于函數g（x）是“漸先函數”，④正確；
故選：D．

點評：本題考查命題的判斷應用，對新定義“漸先函數”概念的理解與應用是關鍵，也是難點，考查分析、作圖及運算求解能力，是難題．