Question

已知P是橢圓上一定點，F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，若∠PF₁F₂=60°，PF₂=

3

PF₁，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設|PF₁|=m，則|PF₂|=

3

m，由橢圓的定義可得

3

m+m=2a，利用余弦定理可得：(

3

m)2=（2c）²+m²-2×2c•mcos60°，聯立解出即可．

解答： 解：設|PF₁|=m，則|PF₂|=

3

m，
由橢圓的定義可得

3

m+m=2a，∴m=a(

3

-1)．
利用余弦定理可得：(

3

m)2=（2c）²+m²-2×2c•mcos60°，
化為2e2-(

3

-1)e-(

3

-1)2=0，
又0＜e＜1，∴e=

3

-1．
故答案為：

3

-1．

點評：本題考查了橢圓的定義及其性質、余弦定理，屬于基礎題．