Question

已知：關于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（2）m的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意得

sinθ+cosθ= 3 +1 2 sinθcosθ= m 2

，再根據三角函數的恒等變換化簡

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

 為 sinθ+cosθ，從而求得結果．
（2）由sinθ+cosθ=

3 +1

2

、sinθcosθ=

m

2

以及同角三角函數的基本關系可得 1+m=(

3 +1

2

)2，由此解得 m的值．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=

3 +1

2

、sinθcosθ=

3

4

，解得 sinθ 和cosθ 的值，從而求得故此時方程的兩個根及θ的值．

解答：解：（1）由于關于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，故有

sinθ+cosθ= 3 +1 2 sinθcosθ= m 2

，
∴

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

=

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cos2θ

cosθ-sinθ

=

(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

．

（2）由sinθ+cosθ=

3 +1

2

、sinθcosθ=

m

2

，∴sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=(

3 +1

2

)2，即 1+m=(

3 +1

2

)2，解得 m=

3

2

．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=

3 +1

2

、sinθcosθ=

3

4

，解得 sinθ=

1

2

，cosθ=

3

2

； 或者 sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

．
故此時方程的兩個根分別為

1

2

、

3

2

，對應θ的值為

π

6

 或

π

3

．

點評：本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，同角三角函數的基本關系的應用，三角函數的恒等變換，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．