Question

已知a＞b＞0，F(xiàn)是方程的橢圓E的一個焦點(diǎn)，P、A，B是橢圓E上的點(diǎn)，與x軸平行，=，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，，
（I ）求橢圓E的離心率
（II）如果橢圓E上的點(diǎn)與橢圓E的長軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2，直線y=kx﹣3經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求k²的值．

Answer 1

解：（I）∵P是橢圓E上的點(diǎn)，與x軸平行，
∴||=，
∵||=，
∴
∴
∴
（II）橢圓E上的點(diǎn)與橢圓E的長軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值等于2
∴ab=2，
解方程組得，
∴橢圓的方程是
設(shè)A（x₁，kx₁﹣3），B（x₂，kx₂﹣3）
∵∴（4+k²）x₁x₂﹣3k（x₁+x₂）+9=0，
∵，得（4+k²）x₂﹣6kx+5=0
即（4+k²）x₁x₂﹣3k（x₁+x₂）+9=0
由得（4+k²）x₂﹣6kx+5=0，
∴，
∴（4+k²）x₁x₂﹣3k（x₁+x₂）+9=0，
∴56﹣4k²=0
k²=14