Question

已知a＞b＞0，F是方程

x2

b2

+

y2

a2

=1的橢圓E的一個焦點，P、A，B是橢圓E上的點，

PF

與x軸平行，

PF

=

a

4

，設
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，

m

•

n

=0
（I ）求橢圓E的離心率
（II）如果橢圓E上的點與橢圓E的長軸的兩個端點構成的三角形的面積的最大值等于2，直線y=kx-3經過A、B兩點，求k²的值．

Answer 1

（I）∵P是橢圓E上的點，

PF

與x軸平行，
∴|

PF

|=

b2

a

，
∵|

PF

|=

a

4

，
∴b2=

1

4

a2
∴

c2

a2

=

3

4

∴e=

3

2

（II）橢圓E上的點與橢圓E的長軸的兩個端點構成的三角形的面積的最大值等于2
∴ab=2，
解方程組

b2= 1 4 a2 ab=2

得

a=2 b=1

，
∴橢圓的方程是x2+ 

y2

4

 =1
設A（x₁，kx₁-3），B（x₂，kx₂-3）
∵

m

•

n

=0
∴（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0，
∵

y=kx+3 4x2+y2

-4=0，
得（4+k²）x²-6kx+5=0
即（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0
由

y=kx-3 4x2+y2

-4=0
得（4+k²）x²-6kx+5=0，
∴x1+x2=

6k

4+k2

，x1x2=

5

4+k2

∴（4+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=0，
∴56-4k²=0
k²=14