Question

已知存在正整數k，使得對任意實數x，式子sinkx•sin^kx+coskx•cos^kx-cos^k2x的值為同一常數，則滿足條件的正整數k=

3

．

Answer 1

分析：記f（x）=sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx-cos^k2x，則由條件f（x）恒為同一常數，取x=

π

2

，得k為奇數，設k=2n-1，上式成為sin（nπ-

π

2

）=-1，因此n為偶數，令n=2m，則k=4m-1從而得出正整數k的值．

解答：解：記f（x）=sin^kx•sinkx+cos^kx•coskx-cos^k2x，
則由條件f（x）恒為同一常數，取x=

π

2

，得f（x）=sin

kπ

2

-（-1）^k，則k為奇數． 
設k=2n-1，上式成為f（x）=sin（nπ-

π

2

）+1，因此n為偶數，
令n=2m，則k=4m-1，故只有k=3滿足題意，
故答案為：3

點評：本題考查函數的恒成立問題，體現了特殊值的思想，得到k為奇數，設k=2n-1，在得到n為偶數，這是解題的難點．