Question

已知曲線(xiàn)C：與函數(shù)f（x）=log_ax及函數(shù)g（x）=a^x，（其中a＞1）的圖象分別交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁²+x₂²的值為（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

Answer 1

【答案】分析：曲線(xiàn)C：以原點(diǎn)為圓心以2為半徑在y軸右側(cè)的半圓，函數(shù)f（x）=logax及函數(shù)g（x）=ax互為反函數(shù)，由反函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知x₂=y₁，再根據(jù)A（x₁，y₁）在曲線(xiàn)C上可知x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
解答：解：∵，∴x²+y²=4（0≤x≤2），
∵曲線(xiàn)C：與函數(shù)f（x）=log_ax及函數(shù)g（x）=a^x，（其中a＞1）的圖象分別交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且函數(shù)f（x）=logax及函數(shù)g（x）=ax互為反函數(shù)，
∴A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，
∴x₂=y₁．∵A（x₁，y₁）在曲線(xiàn)C上，
∴x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
故答案是4．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)f（x）=logax及函數(shù)g（x）=ax互為反函數(shù)，由反函數(shù)意義即對(duì)稱(chēng)性解題．