Question

已知曲線C：與函數f（x）=log_ax及函數g（x）=a^x，（其中a＞1）的圖象分別交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁²+x₂²的值為（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

Answer 1

【答案】分析：曲線C：以原點為圓心以2為半徑在y軸右側的半圓，函數f（x）=logax及函數g（x）=ax互為反函數，由反函數的對稱性可知x₂=y₁，再根據A（x₁，y₁）在曲線C上可知x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
解答：解：∵，∴x²+y²=4（0≤x≤2），
∵曲線C：與函數f（x）=log_ax及函數g（x）=a^x，（其中a＞1）的圖象分別交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且函數f（x）=logax及函數g（x）=ax互為反函數，
∴A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關于直線y=x對稱，
∴x₂=y₁．∵A（x₁，y₁）在曲線C上，
∴x₁²+y₁²=x₁²+x₂²=4．
故答案是4．
點評：函數f（x）=logax及函數g（x）=ax互為反函數，由反函數意義即對稱性解題．