Question

19．已知△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（1）求證：b²=ac；
（2）若a=2c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據三角恒等變換化簡sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，再利用正弦定理可得b²=ac；
（2）根據題意求出a、c和b的值，利用余弦定理求出cosB，再根據同角的三角函數關系求出sinB，計算△ABC的面積即可．

解答 解：（1）證明：在△ABC中，由于sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
所以sinB（$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$）=$\frac{sinA}{cosA}$•$\frac{sinC}{cosC}$，
因此sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC；
又A+B+C=π，
所以sin（A+C）=sinB，
因此sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得b²=ac；-----（6分）
（2）因為a=2c=2，
所以a=2，c=1，
又b²=ac，所以b=$\sqrt{2}$；
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{4}$，
又因為0＜B＜π，所以sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
所以△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．-----（12分）

點評 本題考查了三角恒等變換以及正弦、余弦定理的應用問題，是綜合性題目．