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已知函數f(x)=ex•(cosx+sinx),將滿足f'(x)=0的所有正數x從小到大排成數列{xn},記an=f(xn)(n∈N*).
(Ⅰ)證明數列{an}為等比數列;
(Ⅱ)設cn=ln|an|,求c1+c2+c3+…+cn;
(Ⅲ)若bn=
(-1)n+1(n+1)an
,試比較bn+1與bn的大。
分析:(Ⅰ)求出f′(x),由f′(x)=0可得x,從而可得xn,an,只證明
an+1
an
為常數即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求出an,從而可得cn,可判斷{cn}為等差數列,根據等差數列求和公式可求;
(Ⅲ)表示出bn+1與bn,利用作差法可作出大小比較;
解答:(Ⅰ)證明:f'(x)=ex(cosx+sinx)+ex(-sinx+cosx)=2excosx,
令f'(x)=0,∴f′(x)=2excosx=0∴x=kπ-
π
2
,k∈Z
,
xn=nπ-
π
2
,n=1,2,3…
,
an=f(xn)=enπ-
π
2
•sin(nπ-
π
2
)=(-1)n+1enπ-
π
2

an+1
an
=
f(xn+1)
f(xn)
=-eπ
,且a1=e
π
2
,
∴{an}是以e
π
2
為首項,-eπ為公比的等比數列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,an=(-1)n-1enπ-
π
2
,則 cn=ln|an|=nπ-
π
2

∴{cn}是以
π
2
為首項,π為公差等差數列,
∴c1+c2+c3+…+cn=n•
π
2
+
n•(n-1)
2
•d=
π
2
n2

(Ⅲ) bn=
(-1)n+1(n+1)
an
=
n+1
enπ-
π
2
,∴bn+1=
n+2
e(n+1)π-
π
2
,
bn+1-bn=
n+2
e(n+1)π-
π
2
-
n+1
enπ-
π
2

=
enπ-
π
2
[(n+2)-(n+1)eπ]
enπ+
π
2
enπ-
π
2
=
enπ-
π
2
[n(1-eπ)+(2-eπ)]
enπ+
π
2
enπ-
π
2
,
∵eπ>2,∴
enπ-
π
2
[n(1-eπ)+(2-eπ)]
enπ+
π
2
enπ-
π
2
<0∴bn+1bn
點評:本題考查等差數列的求和、等比數列通項公式,考查學生的運算求解能力,運算量較大.
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