Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過原點且斜率為1的直線交橢圓于兩點，四邊形的周長與面積分別為12與.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與圓相切，且與橢圓交于兩點，求原點到的中垂線的最大距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）不妨設點是第一象限的點，由四邊形的周長求出，面積求出與關系，再由點在直線上，得到與關系，代入橢圓方程，求解即可；

（2）先求出直線斜率不存在時，原點到的中垂線的距離，斜率為0時與橢圓只有一個交點，直線斜率存在時，設其方程為，利用與圓相切，求出關系，直線方程與橢圓方程聯立，求出中點坐標，得到的中垂線方程，進而求出原點到中垂線的距離表達式，結合關系，即可求出結論.

（1）不妨設點是第一象限的點，

因為四邊形的周長為12，所以，，

因為，所以，

得，點為過原點且斜率為1的直線與橢圓的交點，

即點在直線上，點在橢圓上，

所以，即，

解得或（舍），

所以橢圓的標準方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，直線為，

線段的中垂線為軸，原點到軸的距離為0.

當直線的斜率存在時，設斜率為，依題意可設，

因為直線與圓相切，所以，

設，，聯立，

得，

由，得，又因為，所以，

所以，

所以的中點坐標為，

所以的中垂線方程為，

化簡，得，

原點到直線中垂線的距離，

當且僅當，即時，等號成立，

所以原點到的中垂線的最大距離為.