Question

如圖所示，⊙O₁與⊙O₂相交于A，B兩點，過點A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O₁，⊙O₂于點D，E，DE與AC相交于點P．
(Ⅰ)求證：AD∥EC；
(Ⅱ)若AD是⊙O₂的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長。

Answer 1

(Ⅰ)證明：連接AB，
∵AC是圓O₁的切線，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，∴AD∥EC。
(Ⅱ)解法一：∵PA是圓O₁的切線，PD是圓O₁割線，
∴PA²=PB·PD，∴6²=PB·(PB+9)，
∴PB=3，
又圓O₂中由相交弦定理，得PA·PC=BP·PE，∴PE=4， 
∵AD是圓O₂的切線，DE是圓O₂的割線，
∴AD²=DB·DE=9×16，
∴AD= 12。
解法二：設BP=x，PE=y，
∵PA=6，PC=2，
∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12，①
∵AD∥EC，
∴，∴，②
由①②可得或（舍去），
∴DE=9+x+y=16，
∵AD是圓O₂的切線，DE是圓O₂的割線，
∴AD²=DB·DE=9×16，
∴AD=12。