Question

如圖所示，已知三棱錐A-BCD中，AD⊥平面BCD點(diǎn)M、N、G、H分別是棱AB、AD、DC、CB的中點(diǎn)．
（1）求證M、N、G、H四點(diǎn)共面；
（2）已知DC=1，CB=

2

，AD=

6

，AB是球M的大圓直徑，點(diǎn)C在球面上，求球M的體積V．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩條平行線可以確定一個(gè)平面證明M、N、G、H四點(diǎn)共面，根據(jù)中位線證明直線平行．
（2）先證BC⊥平面ACD，在Rt△BCD中求出BD，在Rt△ABD用勾股定理求出球的半徑，即可求球M的體積V

解答：解（1）連接MH，NG，∵M(jìn)、N、G、H分別是棱AB、AD、DC、CB的中點(diǎn)，
∴MH∥AC，NG∥AC，∴MH∥NG，根據(jù)兩條平行線可以確定一個(gè)平面，∴∵M(jìn)、N、G、H四點(diǎn)共面．
（2）設(shè)球半徑為R，∵AB是球M大圓直徑，點(diǎn)c在球面上，
∴MA=MB=MC=R，且∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，∵AC∩AD=A，∴BC⊥平面ACD，
∴BC⊥CD，∴BD²=BC²+CD²=3，
∵AD=

6

，∴AB²=3+6=9，
∴AB=3，∴球半徑=

3

2

，
∴球體積V=

9

2

π．

點(diǎn)評(píng)：本題用到公理兩條平行線可以確定一個(gè)平面，線面垂直的判定定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．