Question

已知函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，當x∈（0，1）時，f（x）=2^x，
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若不等式f（a²-1）+f（1-a）＞0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定f（0）=0，再設-1＜x＜0，可得0＜-x＜1，利用當x∈（0，1）時，f（x）=2^x，即可得到結論；
（2）確定函數在（-1，1）上是增函數，將不等式轉化為具體不等式，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，∴f（0）=0
設-1＜x＜0，則0＜-x＜1，
∵當x∈（0，1）時，f（x）=2^x，
∴f（x）=-f（x）=-2^-x，
∴f（x）=

-2-x，-1＜x＜0 0，x=0 2x，0＜x＜1

；
（2）∵x∈（0，1）時，f（x）=2^x，∴函數在（0，1）上單調遞增，
∵函數f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，∴函數在（-1，1）上單調遞增，
不等式f（a²-1）+f（1-a）＞0，等價于不等式f（a²-1）＞f（a-1），
∴

a2-1＞a-1 -1＜a2-1＜1 -1＜a-1＜1

，解得1＜a＜

2

．

點評：本題考查函數的單調性，考查函數單調性與奇偶性的結合，考查解不等式，確定函數在（-1，1）上是增函數是解題的關鍵．