Question

在實數范圍內，條件且p：a，b∈（0，1）a+b=1是條件q：ax²+by²≥（ax+by）²成立的

1. A.
   充分但不必要條件
2. B.
   必要但不充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   既不是充分又不是必要條件

Answer 1

A
分析：可證明充分性成立，由于（x-y）²≥0，所以ab（x²+y²-2xy）≥0，令1-a=b，1-b=a，a，b∈（0，1），則abx²+bay²-2abxy≥0，代入可得a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0，從而有ax²+by²≥（ax+by）²，但其必要性由于不步步可逆，故不成立，從而得結論．
解答：由題意，∵（x-y）²≥0
∴ab（x²+y²-2xy）≥0
令1-a=b，1-b=a，a，b∈（0，1）
則abx²+bay²-2abxy≥0
∴a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0
∴（ax²-a²x²）+（by²-b²y²）-2abxy≥0
∴ax²+by²-（a²x²+2abxy+b²y²）≥0
∴ax²+by²≥（ax+by）²，
反之，∵ax²+by²≥（ax+by）²，
∴ax²+by²-（a²x²+2abxy+b²y²）≥0
∴a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0
可令1-a=b，1-b=a，但不一定有a，b∈（0，1）
故選A．
點評：本題以不等式為載體，考查四種條件，有一定的技巧，易錯點是不必要性的判斷．