Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2n（n∈N⁺）．（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想數列{a_n}的通項公式（不必證明）；（Ⅱ）證明：當λ≠0時，數列{a_n}不是等比數列；（Ⅲ）當λ=1時，試比較a_n與n²+1的大小，證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₁=2，
∴a₂=λa₁+λ²+2（2-λ）=λ²+4，
同理可得，a₃=2λ³+8，
a₄=3λ⁴+16，
猜想a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（Ⅱ）假設數列{a_n}是等比數列，
則a₁，a₂，a₃也成等比數列，
∴a₂²=a₁•a₃?（λ²+4）²=2（2λ³+8）?λ⁴-4λ³+8λ²=0，
∵λ≠0，∴λ²-4λ+8=0，即（λ-2）²+4=0，
但（λ-2）²+4＞0，矛盾，∴數列{a_n}不是等比數列．
（Ⅲ）∵λ=1，∴a_n=（n+1）+2ⁿ，
∴a_n-（n²+1）=2ⁿ-（n²-n+2），
∵當n=1，2，3時，2ⁿ=n²-n+2，
∴a_n=n²+1．
當n≥4時，猜想2ⁿ＞n²-n+2，
證明如下：當n=4時，顯然2^k＞k²-4+2
假設當n=k≥4時，猜想成立，即2^k＞k²-k+2，
則當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2（k²-k+2），
∵2（k²-k+2）-[（k+1）²⁰-（k+1）+2]
=（k-1）（k-2）＞0
∴2^k+1＞2（k²-k+2）＞（k+1）²-（k+1）+2，
∴當n≥4時，猜想2ⁿ＞n²-n+2成立，
∴當n≥4時，a_n＞n²+1．
分析：（Ⅰ）利用數列的遞推式分別求得a₂，a₃，a₄，猜想出a_n．
（Ⅱ）假設數列{a_n}是等比數列，則a₁，a₂，a₃也成等比數列，利用等比數列的等比中項的性質求得（λ-2）²+4=0，與（λ-2）²+4＞0矛盾，推斷出假設不成立，故可知數列{a_n}不是等比數列．
（Ⅲ）把λ=1代入數列遞推式，求得a_n，猜想出2ⁿ＞n²-n+2，然后利用數學歸納法，分別看n≥4和n=k+1時結論成立．
點評：本題主要考查了數列的遞推式．考查了學生分析問題和解決問題的能力．