Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，，上下頂點分別為，，左、右焦點分別為，，離心率為e.

（1）若，設四邊形的面積為，四邊形的面積為，且，求橢圓C的方程；

（2）若，設直線與橢圓C相交于P，Q兩點，分別為線段，的中點，坐標原點O在以MN為直徑的圓上，且，求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）依題意可得，，，再結合，即可解出，得出橢圓C的方程；

（2）聯立直線和橢圓C的方程，可解得，，再利用坐標原點O在以MN為直徑的圓上，得到，且為矩形，因此，即可用表示出，然后根據離心率的范圍求出的范圍，即可根據二次函數的知識求出．

（1），∴，由，可得，化為，

聯立，解得，，，∴橢圓C的方程為.

（2）設，，聯立，可得，

∴，.

由題意可知：，且為矩形，

∴，而，

∴，

即，∴，

∵，∴，

可得，∴.