Question

已知函數f(x)=-

1

3

x3+x2+ax+b(a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=3，試確定函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在其圖象上任意一點（x₀，f（x₀））處切線的斜率都小于2a²，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=3代入后對函數f（x）求導，導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．
（2）根據導數的幾何意義可將題轉化為求使得f'（x）=-x²+2x+a＜2a²對任意x∈R恒成立的a的取值范圍，進而根據二次函數的性質可解題．

解答：（Ⅰ）解：當a=3時，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+b，所以f^/（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數f（x）的單調增區間為（-1，3），減區間為（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）解：因為f'（x）=-x²+2x+a，
由題意得：f'（x）=-x²+2x+a＜2a²對任意x∈R恒成立，
即-x²+2x＜2a²-a對任意x∈R恒成立，
設g（x）=-x²+2x，所以g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
所以當x=1時，g（x）有最大值為1，
因為對任意x∈R，-x²+2x＜2a²-a恒成立，
所以2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

，
所以，實數a的取值范圍為{a|a＞1或a＜-

1

2

}．

點評：本題主要考查導數的幾何意義和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系．屬中檔題．